אביו: ר' שלמה זלמן.
אמו: מרת פרל זלטא.
בנו: ר' צבי יהודה.
בתו: הרבנית בתיה מרים (בעלה ר' שלום נתן רענן).
אחיו: ר' דב בער.
סבא: ר' נחום (מצד אביו), ר' רפאל פלמן (מצד אמו).
מוריו: ר' אליעזר דון יחייא, ר' יעקב רבינוביץ, ר' ראובן הלוי לוין (רבה של דווינסק), ר' נח חיים אברהם שפירא (רבה של סמרגון).
מתלמידיו: הרב אריה לוין, הרב דוד כהן, הרב יעקב משה חרל"פ, הרב נריה.

הרב הראשי האשכנזי הראשון של ארץ ישראל המכונה הראי"ה קוק נולד בט"ז אלול ה'תרכ"ו בעיירה גריבה (לטביה). נקרא בשם "אברהם" על שם אב סבו מצד אמו, המקובל ר' אברהם ו"יצחק" על שם החסיד ר' יצחק מחבורת הבעש"ט.
בילדותו התחנך אצל אביו שהיה 'מתנגד' אך התחבר לחסידי חב"ד שאמו באה מקהילתם ומגיל 6 נהג להידחק בין החסידים בכדי לשמוע מר' יחזקאל ינובר (מחסידי אדמו"ר בעל "הצמח צדק") הסברים בתורת חב"ד. בהגיעו לגיל 9 נזהר מלהסתכל בנשים, כאשר פגש אישה בלכתו ברחוב כיסה את עיניו בכפות ידיו ועל מנת להתגבר על הרהורים רעים נהג לשרוט את פניו עד זוב דם כדי שהכאב ישכיח ממנו את המחשבות.
למד כשנה וחצי בישיבת וולוז'ין בשקידה עצומה ובכל יום עבר על 60 דפי גמרא בעיון והתעמקות. בשנת ה'תרמ"ד נשא לאישה את בתו של הרב אליהו דוד רבינוביץ תאומים (האדר"ת) – רבה של מיר ופונוביז' ולאחר מכן רבה של ירושלים. היות ולא רצה במשרת רבנות, השקיע את כספי הנדוניה בעסק של שותפות בכדי לעסוק בתורה במנוחה אך לאחר שהעסק לא הצליח פנה אליו ר' מאיר הכהן (בעל "החפץ חיים") בעת שלמדו יחדיו, ביקשו לקבל עליו רבנות ובשנת ה'תרמ"ט נתמנה לרב העיירה זיימל (ליטא).
למד קבלה עם גדול מקובלי דורו הרב שלמה אלישיב (בעל "לשם שבו ואחלמה"). אשתו נפטרה בצעירותה והוא נשא לאישה את בתו של הרב צבי יהודה רבינוביץ תאומים (אחיו התאום של האדר"ת). בשנת ה'תרנ"ה נבחר כרבה של בויסק (לטביה). כאשר פנו אליו אנשי יפו בהשתדלותו של הרב יואל משה סלומון לכהן כרבם, מיהר להגשים את חלומו ובכ"ח אייר ה'תרס"ד הגיע לחופי הארץ ונתמנה לרב של יפו והמושבות החדשות. הקים ביפו את ישיבת "שערי תורה" שמנתה פחות משני מניינים ובשנת ה'תרס"ז ייסד את "בית ספר למלאכה" ללימוד מסגרות ונפחות בנוסף ללימודי היהדות.
בתמוז ה'תרע"ד יצא לברלין (גרמניה) בכדי להשתתף בכינוס העולמי של אגודת ישראל אך כשבוע לאחר הגעתו פרצה מלחמת העולם הראשונה. ר' אברהם יצחק מצא אכסניה בקיסינגן (גרמניה), בחודש תשרי עבר לציריך (שוויץ) ולאחר שלא קיבל אישור חזרה לארץ ישראל מצא מקלט בביתו של סוחר יהודי בסנט גלן (שוויץ). בשבט ה'תרע"ו ניאות לכהן כרבה של קהילת "מחזיקי הדת" בלונדון (אנגליה) בתנאי שיחזור ליפו בהזדמנות הראשונה שיוכל. פעל לחידוש ישיבת "עץ חיים" בלונדון ובערים נוספות באנגליה, השפיע על הממשלה הבריטית שלא תסגיר לרוסיה יהודים שהיגרו אליה מרוסיה, ניהל מאבק עם אנגלים בני דת משה שטענו כנגד התנועה הציונית וניסו להשפיע על הממשל הבריטי שלא ייתן את הצהרת בלפור וכל אותה עת נהג לחתום 'אבד"ק יפו והמושבות וכעת בלונדון'.
בשנת ה'תרע"ט חזר לישראל ונתמנה לרבה של ירושלים. בשנת ה'תרפ"א כונן את מוסד הרבנות הראשית ונבחר לכהן כרב הראשי האשכנזי הראשון לארץ ישראל. בשנת ה'תרפ"ד ייסד בירושלים את "הישיבה המרכזית העולמית" הנקראת בקיצור "מרכז הרב" כמרכז רוחני שישלב את תורת ישראל עם תקומת עם ישראל בארצו, את מכון "הלכה ברורה" העוסק בכתיבת וחיבור הפסיקה ההלכתית של התלמוד ויזם את הקמת בית ספר "תחכמוני" ששילב בין לימודי קודש ולימודי חול דבר שעורר התנגדות מצד חלקם של רבני ירושלים. בחורף ה'תרפ"ד יצא לארה"ב בראש משלחת רבנים להשיג מימון למוסדות תורניים וקיבל אזרחות כבוד של העיר ניו יורק.
נודע בעמידתו האיתנה מול ממשלת המנדט הבריטי בארץ ישראל. ראה בציונות את פעמי משיח וקץ הגאולה, עודד את מפעליה ואף שהיה חרד מנטייתם של צעירי הציונות לחילוניות ולעזיבת הדת, אהבם ותמך בהם רבות. ראשי היישוב, אנשי רוח והגות כיבדוהו ושמרו על קשר אתו. החרדים התנגדו לו בשל דעותיו החדשניות והלאומיות ולמרות שהעריכוהו כחכם גדול בתורה וכל גדולי ישראל רחשו לו כבוד רב ואהבה עצומה הכריזו עליו מלחמה רוחנית גדולה וטענו שהוא טועה בדעותיו, מלחמה שסבל ממנה עד ימיו האחרונים עת חלה במחלת הסרטן.
ביום הסתלקותו בשנת ה'תרצ"ה ביקש מתלמידיו שלא יכתבו עליו שום תארים נוספים מלבד התואר "הרב".
על שמו נקרא מושב כפר הרא"ה שבעמק חפר וכן הוקם מכון ליהדות והוצאת ספרים בירושלים מוסד הרב קוק וביתו שבירושלים שומר והוסב למוזיאון בית הרב קוק.
מספריו:
• אגרות הראי"ה (ק)
• אגרת הטהרה (ק)
• אורות: עוסק במחשבה היהודית (ק)
• אורות הקודש: משנתו הרוחנית (ק1/ק2)
• אורות התורה (ק)
• אורות התשובה (ק)
• ארץ חפץ (ק)
• באר אליהו (ק)
• דעת כהן (ק)
• הלכה ברורה: ביאור על מסכת ביצה (ק)
• השבת ישראל והזמנים (ק)
• חבש פאר: על ענייני תפילין (ק)
• חזון הגאולה (ק)
• מוסר אביך (ק)
• משפט כהן (ק)
• עולת ראי"ה: פירוש על הגדה של פסח (ק)
• עץ הדר (ק)
• עקבי הצאן (ק)
• פצעי אוהב (ק)
• קול מקודש (ק)
• קריאות גדולות (ק)
• ראש מילין (ק)
• שבת הארץ: על שביעית והיתר מכירה (ק)
• שמועות ראי"ה: על בראשית (ק)

תמונת הצדיק והכניסה לביתו באדיבות "בית הרב קוק"