אביו: ר' שלום שכנא אלטשולר.
אמו: הרבנית דבורה לאה.
אשתו: הרבנית חיה מושקא.
בניו: ר' ברוך שלום, אדמו"ר רבי חיים שניאור זלמן מליאדי, אדמו"ר רבי יהודה ליב מקופוסט, אדמו"ר רבי יוסף יצחק מאוורוטש, ר' יעקב, אדמו"ר רבי ישראל נח מניעז'ין ואדמו"ר רבי שמואל [מהר"ש].
בנותיו: מרת ראדע פריידא (בעלה ר' שניאור) ומרת דבורה לאה (בעלה ר' לוי יצחק).
סבא: ר' נח (מצד אביו) ור' שניאור זלמן– אדמו"ר הזקן (מצד אמו).
סבתא: רוחמה (מצד אביו), הרבנית שטערנא (מצד אמו).
מורו: ר' אברהם מלמד.

נולד בכ"ט אלול ה'תקמ"ט בעיר ליאזני ונקרא על שם ר' מנחם מנדל מהורודוק.
לאחר שהתייתם מאמו בגיל 3 גדל בבית סבו (ר' שניאור זלמן - אדמו"ר הזקן) ועל-פי הוראתו ישן בחדרו בסמוך לארון ספרי הקודש. בכל יום למדו יחד, בגיל 5 החל לרשום לעצמו הנהגות וסיפורים ששמע מהחסידים ובגיל 8 היה בקי בתלמוד ובפוסקים.
כאשר אדמו"ר הזקן הציע לבנו (אדמו"ר האמצעי) לקחתו כחתן לבתו (חיה מושקא), הראה לו אדמו"ר האמצעי מבעד לחלון כיצד הוא משחק עם כל הילדים בחצר. אדמו"ר הזקן ניגש אל החלון ורמז באצבע לנכדו להיכנס לחדר, הגיש לו גמרא והורה לו לשוב תוך מחצית השעה ולחזור בעל-פה דף עם רש"י ותוספות. לאחר כרבע שעה הבחין אדמו"ר האמצעי שהוא שוב משחק בחוץ עם חבריו, פנה לאביו ואמר 'אפילו בקולך אין הוא שומע!'. אדמו"ר הזקן קרא לו ונזף בו אולם לטענתו סיים ללמוד והחל לחזור בעל-פה את הדף.
בגיל 9 ידע בעל-פה את כל סידור "שער השמים" של השל"ה, מגיל 12 החל לכתוב כל יום עד לפטירתו נגלה וחסידות ולאחר גיל בר-מצווה למד עם סבו קבלה וחסידות, את ספר הכוזרי, מורה נבוכים, עיקרים ועץ חיים.
בחורף ה'תקס"ג נשא לאישה את בתו של אדמו"ר האמצעי (דודו) בליאדי. מונה לראש הישיבה בישיבתו של אדמו"ר האמצעי והיה סמוך על שולחנו. סבר שיש להתפרנס ממלאכה ולא מהתורה והשקיע את כל הכסף שקיבל כנדוניה בסך כ - 300 רובל בפתיחת בית מלאכה לייצור חותמות שעווה [בהם השתמשו לחתום אגרות דואר] כמקור לפרנסתו. כשותף לקח את ר' נחמיה שהיה מוסר שיעור בישיבה ובמהלך כל עבודתם היו משוחחים בדברי תורה. כעבור כחודש שקעו באחד הלילות בסוגיה עמוקה עד שהדוד בו נמצא חומר הגלם החל לבעור, כל המפעל עלה באש ובקושי הצליחו השניים להציל את עצמם.
לאחר השריפה במפעל החליט לעסוק במלאכת הנגרות אולם בחצר הרבי לא הסכימו כי יעסוק בכל מלאכה ומינוהו למלמד.
כ-3 שנים לאחר נישואיו ביקש אדמו"ר הזקן מהרבנית חיה מושקא להביא לו מהכתבים של בעלה וביניהם היה המאמר "שורש מצוות התפילה". בראותו את הכתבים קרא לר' יהודה לייב (אחיו) ולר' פינחס רייצס וביקשם לענות "אמן" על שהוא חייב לברך "שהחיינו". עם היוודע לו כי זוגתו הראתה את כתביו ללא ידיעתו וקבלת רשותו, רצה לגרש אותה. לטענתה כי הינה מחויבת בכיבוד הסבא (אדמו"ר הזקן), כיון ומצוות כיבוד הסבא היא יותר ממצוות כיבוד אב השיב כי עליו לעיין בדין אולם היות שיש בליבו עליה, לא יוכל לגור עמה עד שיגמור את העיון. כעבור חודשיים נודע על כך לאדמו"ר האמצעי ולאחר שנוכח כי דעתו תקיפה שיתף בעניין את אדמו"ר הזקן. בשבת חנוכה פנה אליו אדמו"ר הזקן ואמר כי שמע שיש לו עיון בדבר הלכה אך כיוון שהוא נוגע בדבר ויקשה עליו לכוון לאמת ברצונו לעיין יחד עמו ושתי נפשות א-לוקיות יוכלו לגלות את אמיתות ההלכה. לאחר שהצטער על שעלה בדעתו לגרש את זוגתו הבטיח אדמו"ר הזקן ללמוד עמו פעמיים בשבוע נגלה ושלוש פעמים בשבוע לחזור לפניו מאמרים שאמר בעבר וביאורי תורות שקיבל מרבותיו וברכם כי יקוים בהם הכתוב "תטעי נטעי נעמנים... ביום נטעך תשגשגי ובבוקר זרעך תפריחי" ולאחר שנאנח הוסיף: "נד קציר ביום נחלה וכאב אנוש" (ישעיה י"ז).
בגיל 18 חיבר את ספרו 'טעמי מצוות'. לאחר פטירת אדמו"ר הזקן עבר להתגורר בעיירה האדיטש, התפרנס מעסק ליצור שקים וזכה להתגלויות של אדמו"ר הזקן בהן מסר לו סודות תורה.
בתחילת חודש תמוז שנת ה'תקע"ד התיישב עם חותנו בעיירה ליובאוויטש ובמשך 18 שעות ביממה שקד על לימוד התורה. הסדר והדיוק היו חשובים בעיניו ועל-כן קבע לעצמו זמן מדויק לכל לימוד, נהג ללמוד בקול ובניגון ולעיתים הפסיק מלימודו וניגן. היה בקי בספרי קבלה וכתבי האריז"ל ובמשך תקופה למד כל לילה 6 שעות רצופות בעמידה עד שסיים את כל התלמוד הבבלי והירושלמי וארבעה חלקי שולחן ערוך.
לאחר פטירת אדמו"ר האמצעי בחודש כסלו שנת ה'תקפ"ח סרב לבקשת זקני החסידים לכהן כאדמו"ר ורק לאחר השתדלויות רבות החל בחודש סיון לכהן כאדמו"ר השלישי לחסידי חב"ד.
נסע למינסק (בלרוס) ולווילנה (ליטא) וניפגש עם גאוני ליטא. הקדיש זמן רב לתפילה וללימוד חסידות, בשעה שחשש שמא יגיע לידי כעס ביקש שיביאו לו את השולחן ערוך לעיין בו ויראה אם על עניין כגון זה מותר לבוא לידי כעס – בינתיים כעסו התפוגג. בשנת ה'תר"א ייסד ישיבה בליובאוויטש ובמשך השנים ה'תר"ד-ה'תר"ה הקים סניפים לישיבה וייסד כוללים לאברכים בערים שונות.
נלחם במשכילים ובשנת ה'תר"ג נאלץ להשתתף באסיפת הרבנים בפטרבורג, בגלל עמדתו התקיפה בענייני הדת ניתן במעצר-בית פעמים אחדות והוטלו עליו קנסות אולם לאחר שקיבל הרשאה מטעם הממשלה לשוב לליובאוויטש הותר לו להמשיך בפעילותו. על מנת לסייע ליהודים בפרנסתם ייסד בשנת ה'תר"ד לערך את העיירה שעדרין (רוסיה), יישב בה יותר מ-300 משפחות שעסקו בחקלאות לפרנסתם ועל פעילותו הציבורית הרחבה קיבל תעודת אזרח נכבד בחתימת הקיסר. ייסד את 'חברת תחיית המתים' שפעלה להצלת ילדים יהודיים מגזירת הקנטוניסטים. בתחילת שנת ה'תרט"ז נאלץ באיומי שוטרים לחתום על ספרי הלימוד המקוצרים שערכו המשכילים ולאחר שפרסם את התנגדותו ללימוד בספרים אלה נקנס בחודש תמוז ה'תרי"ז למאסר בית במשך חודש.
למרות המשך הלשנות המשכילים לאנשי השלטון הקומוניסטי המשיך את פעילותו לחיזוק היהדות, שלח כספים לחיזוק היישוב היהודי בארץ ישראל וייסד בתי כנסת בטבריה, בירושלים ובצפת.
חיבר את הניגונים: ימין ה' [להאזנה] כאייל תערוג [להאזנה] ואשרי איש [להאזנה].
לאחר שזוגתו נפטרה בשנת ה'תרכ"א אמר לבנו (אדמו"ר רבי שמואל) כי נתקיימו דברי קודשו של אדמו"ר הזקן – עברו 54 (נ"ד) שנים מאז נאנח ואמר לו "נד קציר ביום נחלה".
טען כי אינו רואה את הגוף אלא רק את הנשמה ועל כן הפסיק להשיב לשאלות בנושאים חומריים, כחצי שנה טרם פטירתו היה לו מאוד קשה לדבר ובשנת ה'תרכ"ו השיב את נשמתו ליוצרה.
מספריו:
• אור התורה: מאמרים ודרושים על פרשיות השבוע, חנוכה, פורים, שלוש רגלים, ראש השנה ויום הכיפורים.
• ביאורי הזהר: דרושים וביאורים בדרך החסידות והקבלה על ספר הזוהר (ק)
• דרך מצוותיך: ביאור טעמי המצוות על פי החסידות (ק)
• מאמרי אדמו"ר הצמח צדק: מאמרי חסידות מהשנים תרי"ד – תרט"ו.
• ספר החקירה: הוכחות על חידוש העולם בדרך המחקר, הקבלה והחסידות (ק)
• צמח צדק: שו"ת (ק1/ק2/ק3/ק4/ק5)
• רשימת מאמרי דא"ח: מהשנים ה'תקפ"ח – ה'תרכ"ו.
• תהילים אהל יוסף יצחק: ביאור על ספר תהילים.

תמונות האוהל באדיבות ר' חנוך קיי
תמונת הצדיק באדיבות "אמנות יהודית" 050-5823050